תאלס - שיעורים וסרטוני לימוד במתמטיקה חינם - משפט תאלס ופרופורציה במשולשים

משפט תאלס הוא אחד המשפטים החשובים ביותר בגיאומטריה של המישור, והוא מהווה בסיס לחישובי פרופורציות ודמיון משולשים.

משפט תאלס המקורי

הגדרה: ישר המקביל לאחת מצלעות המשולש וחותך את שתי הצלעות האחרות, מקצה עליהן קטעים פרופורציונליים.

אם במשולש ABC נעביר קטע DE המקביל לצלע BC (D על AB ו-E על AC), מתקיים יחס הפרופורציה הבא:

$$\frac{AD}{DB} = \frac{AE}{EC}$$

משפט תאלס המורחב מאפשר לנו להכניס ליחסי הפרופורציה גם את הקטע המקביל עצמו (DE) ואת הצלע לה הוא מקביל (BC):

הרחבה א' (משולשים המולבשים זה על זה):

$$\frac{AD}{AB} = \frac{AE}{AC} = \frac{DE}{BC}$$

הרחבה ב' (משפט תאלס "שעון חול" / "פרפר"):
כאשר שני ישרים מקבילים AB ו-CD נחתכים על ידי שני אלכסונים הנפגשים בנקודה O ביניהם:

$$\frac{OA}{OC} = \frac{OB}{OD} = \frac{AB}{CD}$$

חוצה זווית במשולש מחלק את הצלע שמול הזווית לשני קטעים העומדים ביחס ישר ליחס בין הצלעות הכולאות את הזווית.

אם במשולש ABC הקטע AD הוא חוצה הזווית A (כאשר D על BC), אז מתקיים היחס:

$$\frac{BD}{DC} = \frac{AB}{AC}$$