תאלס - שיעורים וסרטוני לימוד במתמטיקה חינם

סדרה הנדסית היא סדרת מספרים שבה היחס בין כל שני איברים עוקבים הוא קבוע. יחס קבוע זה נקרא "מנת הסדרה" ומסומן באות q (מלשון quotient).

הגדרות וסימונים בסיסיים

a₁: האיבר הראשון בסדרה.
q: מנת הסדרה (המספר שבו כופלים כל איבר כדי לקבל את האיבר הבא).
n: מיקום האיבר בסדרה (מספר שלם חיובי).
a_n: האיבר הכללי במקום ה-n.
S_n: סכום n האיברים הראשונים בסדרה.

נוסחת האיבר הכללי ($a_n$)

נוסחה זו מאפשרת למצוא כל איבר בסדרה הנדסית:

$$a_n = a_1 \cdot q^{n - 1}$$

דוגמה: בסדרה הנדסית שבה $a_1 = 3$ ו- $q = 2$, האיבר במקום ה-5 הוא:
$$a_5 = 3 \cdot 2^{5 - 1} = 3 \cdot 2^4 = 3 \cdot 16 = 48$$

נוסחת סכום סדרה הנדסית סופית ($S_n$)

כדי לחשב את סכום n האיברים הראשונים בסדרה הנדסית סופית, נשתמש בנוסחה הבאה (עבור q שונה מ-1):

$$S_n = \frac{a_1(q^n - 1)}{q - 1}$$

סדרה הנדסית אינסופית מתכנסת

כאשר מנת הסדרה שוכנת בין מינוס אחד לפלוס אחד (כלומר q שבר קטן מ-1 בערכו המוחלט, $|q| < 1$), האיברים בסדרה הולכים וקטנים ומספר האיברים הוא אינסופי. סדרה זו נקראת סדרה הנדסית אינסופית מתכנסת.

סכום כל אינסוף איברי הסדרה שואף למספר סופי קבוע, הנתון על ידי הנוסחה הבאה:

$$S = \frac{a_1}{1 - q}$$

סדרות הנדסיות (גיאומטריות)

הגדרות וסימונים בסיסיים

נוסחת האיבר הכללי ($a_n$)

נוסחת סכום סדרה הנדסית סופית ($S_n$)

סדרה הנדסית אינסופית מתכנסת