תאלס - שיעורים וסרטוני לימוד במתמטיקה חינם - מספרים מרוכבים

מספרים מרוכבים מרחיבים את מערכת המספרים הממשיים על ידי הגדרת מספר חדש שריבועו שווה למינוס אחד. מספר זה נקרא היחידה המדומה ומסומן באות i.

$$i^2 = -1$$

הצגה אלגברית של מספר מרוכב

מספר מרוכב z מיוצג בצורה הבאה:

$$z = a + bi$$

ניתן לייצג את המספר המרוכב כנקודה במישור גאוס בעלת מרחק r מראשית הצירים וזווית θ מציר ה-x החיובי:

$$z = r(\cos\theta + i\sin\theta) = r\,\text{cis}\theta$$

מעבר מהצגה אלגברית לטריגונומטרית מבוצע בעזרת:

$$r = \sqrt{a^2 + b^2} , \quad \tan\theta = \frac{b}{a}$$

ההצגה הטריגונומטרית נוחה מאוד לביצוע כפל וחילוק:

כפל: $z_1 \cdot z_2 = r_1 \cdot r_2 \cdot \text{cis}(\theta_1 + \theta_2)$ (כופלים את הרדיוסים ומחברים את הזוויות).
חילוק: $$\frac{z_1}{z_2} = \frac{r_1}{r_2} \cdot \text{cis}(\theta_1 - \theta_2)$$ (מחלקים את הרדיוסים ומחסירים את הזוויות).

לחישוב חזקה של מספר מרוכב בהצגה טריגונומטרית נשתמש במשפט דה-מואבר:

$$z^n = (r \cdot \text{cis}\theta)^n = r^n \cdot \text{cis}(n\theta)$$

כדי לבצע שורש n-י למספר מרוכב z, נשתמש בנוסחה הבאה המחשבת את שורשי היחידה והרדיוס:

$$\sqrt[n]{z} = \sqrt[n]{r} \cdot \text{cis}\left(\frac{\theta + 360^\circ k}{n}\right)$$